Not Pr1me Numbers

Track List:

1. La diagonale di Ulam

2. Not prime numbers

3. Not Ulam's spiral

Not Pr1me Numbers è disponibile su Spotify al seguente link: https://open.spotify.com/intl-it/album/6LmQufRPNFhUE0Yaq7PJUq?si=UYsRiYOLT9OwmINgzsP5SA
Not Pr1me Numbers è disponibile su iTunes al seguente link: https://itunes.apple.com/gb/album/id1846892788?app=itunes

Not Pr1me Numbers è il lavoro speculare rispetto a Pr1me Numbers: si prendano tutte le considerazioni teoriche successive e le si ribalti. I suoni che si percepiranno saranno tutti quelli corrispondenti ai numeri non primi o non appartenenti alla spirale di Ulam.

Si seguano dunque queste istruzioni per capire il procedimento compositivo utilizzato per la conversione dei numeri primi in note e lo si renda complementare.

Pr1me Numbers nasce nell’aprile del 2020 come ricerca teorica sui numeri primi e sulla loro convertibilità in musica pubblicata poi su Mathesis Nazionale (http://www.mathesisnazionale.it/2020/04/18/la-musica-dei-numeri-primi/).

Questi i semplici passaggi che ho adottato per la trasformazione dei numeri in note:

1. si considerino le 12 note comprese nell’ambito di un’ottava (do, do#, re, re#, etc.);

2. partendo dal numero 1 si associ ogni nota a un numero in ordine crescente (do=1; do#=2; re=3; etc.);

3. dopo il dodicesimo numero si riparta da capo con la nota do (do=13; do#=14; re=15; etc.) e così all’infinito;

4. dato che le note comprese nell’ambito di un’ottava sono dodici, ho scelto di utilizzare battute con 12 suddivisioni e dunque (per pura comodità) il metro di 12/8.

Interessandoci solo i numeri primi, tutti gli altri corrisponderanno a delle pause così che non si generi confusione nella lettura. In questo modo si otterrà oltretutto una semplificazione visiva nella ricerca dei numeri: si saprà a priori che in ognuna delle infinite battute che si genereranno la nota ‘do’ sarà sempre nella prima suddivisione della battuta, il ‘re’ nella terza e il ‘fa’ nella sesta e che per ritrovare la stessa nota sarà sufficiente aggiungere o togliere 12 (o un suo multiplo) al suo numero.

Ho proceduto a questo punto alla creazione dello spartito dei numeri primi (mi sono dato come limite quelli compresi tra 1 e 1000) con le regole date:

Come mi ha fatto notare il prof. Francesco Fournier "non è un caso che, se si escludono il 2 e il 3 tutti gli altri numeri corrispondano sempre alle stesse 4 note: do, mi, fa#, la# anche se disposte in una sequenza apparentemente casuale. Effettivamente il processo continua identico. Tradotto in numeri, stiamo dicendo che se vogliamo esprimere un numero primo come 12k + r (cioè un multiplo di 12 e un resto più piccolo di 12), allora r deve essere uguale a 1 (do), 5 (mi), 7 (fa#) o 11 (la#), con le eccezioni di 2 e 3.

Ecco perché: gli altri numeri tra 1 e 12 sono tutti multipli di 2 o di 3. Siccome 12 è un multiplo di entrambi, se r non è tra questi quattro numeri, allora 12k + r è un multiplo di 2 o di 3. Quindi non può essere primo, a meno che non sia uguale a 2 o a 3.

In linguaggio formale, 1, 5, 7 e 11 sono rappresentanti delle unità modulo 12, e ogni numero primo che non divide dodici è un'unità modulo 12.

Inoltre non considerando l’1 come primo e tralasciando il 2 e il 3, se consideriamo i successivi quattro numeri primi (5, 7, 11, 13) come punto di origine delle sequenze, si noterà che aggiungendo 12 o un suo multiplo a questi numeri si otterrà sempre ad un certo punto un numero primo.

Anche questo non è un caso, ma la ragione è molto più profonda e non può essere spiegata con un ragionamento elementare come la precedente.

Abbiamo visto che prendendo il resto della divisione per 12 di un numero primo otteniamo 1, 5, 7 o 11. Quindi i numeri primi sono divisi in queste quattro categorie, che si chiamano classi modulo 12. Ora, si sa da Euclide che esistono un'infinità di numeri primi. Una domanda molto più difficile è: esistono un'infinità di numeri primi in ognuna di queste quattro classi? E' chiaro che almeno una di queste classi deve contenere un'infinità di numeri primi, ma chissà, magari le altre ne contengono solo un numero finito...

La risposta è sì: l'enunciato generale si chiama Teorema di Dirichlet, o Teorema della progressione aritmetica. Fu congetturato da Gauss e dimostrato da Dirichlet nel 1835, e secondo molti quella dimostrazione è la nascita della teoria analitica dei numeri, che poi esploderà nel 1859 con il testo di Riemann in cui pone la sua famosa ipotesi".

Se si escludono il 2 e il 3 si noterà che tutti gli altri numeri corrispondono sempre alle stesse 4 note: do, mi, fa#, la# anche se disposte in una sequenza apparentemente casuale.

Note sui brani:

1. Ulam’s spiral – Club Dance Beat

La spirale di Ulam, nata nel 1963 probabilmente come un semplice passatempo del matematico polacco Stanislaw Ulam, ha fornito alcune idee aggiuntive allo studio dei numeri primi anche se, a oggi, non ha ancora prodotto dei risultati chiari né si è ancora stabilito se possa essere significativamente utile. In ogni caso l’effetto, soprattutto visivo, che si genera è affascinante.

In una variante del suo ‘gioco’ Ulam inserì al centro del quadrato il numero 17 (e non l’1) notando così che procedendo a spirale con tutti gli altri numeri successivi si veniva a formare una diagonale di numeri primi decisamente significativa ma che non prosegue oltre né verso l’alto né verso il basso ma si rigenera in altri settori.

Proprio da questa variante sono partito per la conversione in musica:

Applicando lo stesso principio di conversione anche alla spirale (ho scelto il metro di 4/8 perché il quadrato era composto da righe di 16 numeri e quindi la divisione in 4 battute per rigo mantiene graficamente l’idea della/e diagonale/i) si genera questa linea melodica:

Ciò che si ascolta in Not Ulam's spiral è la sequenza di tutte le note che starebbero al posto delle pause.